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談談高斯-勒讓德公式推導過程

4章數值積分與數值微分

4.1 引言

4.1.1 數值求積的基本思想

實際問題當中常常需要計算積分.有些數值方法,如微分方程和積分方程的求解,也都和積分計算相聯系.

依據人們所熟知的微積分基本定理,對于積分

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只要找到被積函數的原函數,便有下列牛頓-萊布尼茲(Newton-Leibniz)公式:

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但實際使用這種積分方法往往有困難,因為大量的被積函數,諸如等等,我們

找不到用初等函數表示的原函數;另外,當是由測量或數值計算給出的一張數據表時,牛頓-萊布尼茲公式也不能直接使用.因此有必要研究積分的數值計算問題.

積分中值定理告訴我們,在積分區間內存在一點,成立

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就是說,底為而高為的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積(圖4-1).問

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題在于點的具體位置一般是不知道的,因而難準確算出的值.我們將稱為區

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間上的平均高度.這樣,只要對平均高度提供一種算法,相應地便獲得一種數值求積方法.

如果我們用兩端點“高度”和的算術平均平均作為平均高度的近似值,這樣導出的求積公式

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(4.1.1)

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便是我們所熟悉的梯形公式(幾何意義參看圖4-2).而如果改用區間中點的

“高度”近似地取代平均高度,則又可導出所謂中矩形公式(今后簡稱矩形公式)

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(4.1.2)

更一般地,我們可以在區間上適當選取某些節點,然后用加權平均得到平均

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